2002年01月13日 日曜日

ブロッコリー、カリフラワー、フラクタル

ブロッコリーとカリフラワーといえば、ほおばるほど一気に食べたいと思うような野菜ではない。僕はブロッコリーは食えるけど、カリフラワーは全然だめだ。普段食べている部分はつぼみの部分らしい。朝やっていた番組によればブロッコリー一房で約3万個のつぼみがあるとか。菜の花みたいな花が咲くらしくて、きっと盛大に花が咲くに違いないし、我々は一口でえらい個数の種を胃袋に入れている計算になるかな。
で、今日の昼ごはんにブロッコリーが出てきたので、見てよく考えると、ブロッコリーってフラクタル図形だねぇとしみじみ思った。線が空間をしめているので、フラクタル次元は2と3の間なのかな。今度考えてみよう。
フラクタルって言うのは、非整数な次元を持つ図形・幾何学であるが、その発想はまぁ分かりやすいものだ。普通の正方形の場合は、辺の長さを1/2にした、4(=22)個の正方形で埋め尽くすことができます。同様に辺の長さを1/3にしたときに9(=32)個の正方形で埋め尽くされます。一般的には1/aに縮小したときは、a2個の正方形で埋め尽くせます。こういう場合は、2次元であるといいます。同様に線分なら1次元。立方体なら3次元になります。一般的には1/aに縮小したときに、aD個の相似な図形で埋め尽くせる場合、Dを次元(ハウスドルフ次元)といいます。
普通フラクタルといえばMandelbrot集合の美しい絵(よくかかれている色が付いているとことはMandelbrot集合でないことに注意。)を思い起こす人は多いと思うが、より興味深い対象はCantor集合かな。作り方は簡単で、一本の直線を三等分して真ん中の部分を取り除く。残った2本の直線に対し同じ操作を行う。この操作を無限に行う。思考実験になってしまうが究極的には直線上に並んだ点の集合になる。Cantor集合の場合は1回目の操作で長さは1/3の直線が2本できるので、次元はlog 2 / log 3 で、約0.63という中途半端な値になる。(しかも超越数だし) この無限に続く埃は直線上に並んでいるが、直線の次元よりは小さく、点の次元(0)より遙かに大きい、長さという概念を持たない集合になる。まぁCantor集合は数学で遊んでいると出てくるおもしろい性質を持った集合なので、興味深いと言うことになるかなぁ。
フラクタルは至る所にあるなぁと思って、いろいろ本を読んだ1日でした。